Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai “adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari.” Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.
Pengertian[sunting | sunting sumber]
Jika terdapat suatu untai abjad abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: acbd, dacb, dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.
abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba
Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula abcd, hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari abcd.
Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin[sunting | sunting sumber]
Untuk membuat permutasi dari abcd, dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:
Kartu Kotak kosong ----------- --------------- a b c d [ ] [ ] [ ] [ ]
Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:
- Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
Kartu Kotak ----------- --------------- a b c d [ ] [ ] [ ] [ ] ^ 4 pilihan: a, b, c, d
- Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.
Kartu Kotak ----------- --------------- a * c d [b] [ ] [ ] [ ] ^ 3 pilihan: a, c, d
- Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.
Kartu Kotak ----------- --------------- a * c * [b] [d] [ ] [ ] ^ 2 pilihan: a, c
- Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.
Kartu Kotak ----------- --------------- a * * * [b] [d] [c] [ ] ^ 1 pilihan: a
- Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.
Kartu Kotak ----------- --------------- * * * * [b] [d] [c] [a]
Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah. Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari n unsur adalah sebanyak .
Bilangan Inversi[sunting | sunting sumber]
Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah. Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai abcdefg adalah dacfgeb. Maka untuk setiap unsur dacfgeb dapat dibuat bilangan inversinya:
-
Posisi Unsur Bilangan 0 d 3 Ada 3 huruf setelah posisi 0, yang seharusnya berada sebelum d, yaitu a, b, dan c. 1 a 0 Tidak ada huruf setelah posisi 1, yang seharusnya berada sebelum a. 2 c 1 Ada 1 huruf setelah posisi 2, yang seharusnya berada sebelum c, yaitu b. 3 f 2 Ada 2 huruf setelah posisi 3, yang seharusnya berada sebelum f, yaitu e, dan d. 4 g 2 Ada 2 huruf setelah posisi 4, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu e, dan b. 5 e 1 Ada 1 huruf setelah posisi 5, yang seharusnya berada sebelum g, yaitu b. 6 b 0 Tidak ada huruf setelah b.
Maka barisan bilangan inversi dari dacfgeb adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.
Faktoradik[sunting | sunting sumber]
Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:
dan
Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-k dari sebuah untai.
Membangkitkan Permutasi[sunting | sunting sumber]
Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:
Diberikan sebuah untai S, tentukan:
- Semua permutasi dari S
- Semua permutasi n-elemen dari S
- Permutasi berikutnya setelah S
- Permutasi ke-k dari s sesuai urutan leksikografik (atau aturan lainnya)
Jenis-jenis Permutasi Lainnya[sunting | sunting sumber]
Permutasi-k dari n benda[sunting | sunting sumber]
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-k dari n benda. Pada contoh untai abcd, maka permutasi-2 dari abcd (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
abc abd acb acd adb adc bac bca bad bda bcd bdc cab cba cad cda cbd cdb dab dba dac dca dbc dcb
Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah
Permutasi dengan elemen yang identik[sunting | sunting sumber]
Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur, yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak dua kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari aabc adalah berjumlah 12:
aabc aacb abac abca acab acba baac baca bcaa caab caba cbaa
Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur a dibedakan, yaitu a0 dan a1:
a0a1bc a1a0bc = aabc a0a1cb a1a0cb = aacb a0ba1c a1ba0c = abac a0bca1 a1bca0 = abca a0ca1b a1ca0b = acab a0cba1 a1cba0 = acba ba0a1c ba1a0c = baac ba0ca1 ba1ca0 = baca bca0a1 bca1a0 = bcaa ca0a1b ca1a0b = caab ca0ba1 ca1ba0 = caba cba0a1 cba1a0 = cbaa
Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur: a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 = a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:
Untuk untai S sepanjang n yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak k:
Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n, mengandung m macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak k1, k2, …, km, maka:
atau
Sebagai contoh, untai aaaaabbcccdddddd terdiri dari 5 a, 2 b, 3 c, dan 6 d, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:
Dalam permutasi biasa, misalnya abcd, setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga
Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf A dan huruf a bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.
Permutasi siklis[sunting | sunting sumber]
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.
h a g b f c e d
Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:
abcdefgh bcdefgha cdefghab defghabc efghabcd fghabcde ghabcdef habcdefg
Cara membaca untai abcdefgh dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain. Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.
a bcdefgh -------- ^ bagian yang dipermutasikan
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak .
Lihat pula[sunting | sunting sumber]
Pranala luar[sunting | sunting sumber]
- Using Permutations in .NET for Improved Systems Security
- (Inggris) Kalkulator Permutasi and Kombinasi
sumber:https://id.wikipedia.org/wiki/Permutasi