materi eksponen

Eksponen dan Logaritma

Kelas X

 

Nama: 1.     Hafidhlotul Rif’ah             (4101414069) 2.     Dewi Setyowati     (4101414070)

 

 

Kompetensi Dasar

• Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
• Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
• Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan
• Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.
• Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat- sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

 

Materi

Eksponen dan Logaritma

 

Sub Materi

1. Fungsi Eksponen
2. Bilangan Eksponen
3. Sifat-Sifat Eksponen
4. Fungsi Logaritma
5. Bilangan Logaritma
6. Sifat-Sifat Logaritma

 

Materi Prasyarat

1. Operasi bilangan bulat

• Penjumlahan
• Pengurangan
• Perkalian
• Pembagian

2. Bilangan Berpangkat

 

Indikator

 

1. Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen dan logaritma
2. Merancang model Matematika dari sebuah permasalahan autentik yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma
3. Menafsirkan hasil pemecahan masalah
4. Membuktikan berbagai sifat terkait eksponen dan logaritma
5. Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat berdasarkan ciri-ciri yang dituliskan sebelumnya
6. Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma berdasarkan konsep yang sudah dimiliki
7. Menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah.

 

 

 

Peta Konsep

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EKSPONEN

 

1. Definisi Eksponen

 

 

Definisi 1.1

Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. aⁿ adalah hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis aⁿ = a x a x … x a

n faktor

dengan a sebagai basis bilangan pokok dan n sebagai pangkat.

Definisi 1.2

Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk:

y = f(x) = a

a, b, dan c adalah bilangan real.

x adalah variabel

b adalah bilangan pokok atau basis

c adalah koefisien x

cx adalah eksponen dari b

 

2. Pangkat Bulat Negative

 

Definisi 1.3

, a ϵ R, a ≠ 0, m ϵ Z

Bukti :

.

Contoh soal

Nyatakan dalam pangkat bulat positif!

5. Bilangan berpangkat nol

 

Definisi 1.4

, dengan a ϵ R, a ≠ 0

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal dibawah ini!

2⁵ = 32

2⁴ = 16

2³ = 8

2² = 4

2¹ = 2

2⁰ =1

 

4. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif

 

 

Sifat 1

Jika p bilangan real, m, n bilangan bulat positif maka pⁿ x p^m = p^n+m

 

Bukti

pⁿ x p^m = p x p x … x p x p x p x … x p

n faktor               m faktor

= p^n+m

 

 

Sifat 2

Jika a bilangan real a ≠ 0, m , n bilangan bulat positif maka

 

Bukti

 

Ada tiga kemungkinan yang akan terjadi pada sifat diatas

1. Kasus m > n

Jika m dan biangan bulat positif dan m > n maka m – n > 0. Dengan begitu

Jadi dengan m dan n bilangan bulat positif, m > n

1. m = n

Jika m dan biangan bulat positif dan m = n maka m – n = 0. Dengan begitu

= 1

 

1. m < n

Jika m dan biangan bulat positif dan m < n maka m – n < 0. Dengan begitu

, misalkan m-n = -t, karena -t < 0 maka

.

 

 

Sifat 3

Jika a bilangan real a ≠ 0, m , n bilangan bulat positif maka (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m = a^mxn

 

Bukti

( a^m)ⁿ    = a^m x a^m x a^m x … x a^m (sebanyak n faktor)

= (a x a x a x … x a) (a x a x a x … x a) … (a x a x a x … x a)

 

 

 

 

 

= .

Latihan Soal nyatakan kedalam bentuk pangkat paling sederhana.

 

5. Pangkat Pecahan

 

 

Definisi 1.5

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif. adalah bilangan real positif sehingga p^m = a.

 

Definisi 1.6

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat positif didefinisikan

Definisi 1.7

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0 dengan a > 0, adalah bilangan pecahan q ≠ 0. q ≥ 2.

, sehingga c = atau .

 

 

Sifat 4

Misalkan a adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a> 0, dan adalah bilangan pecah n ≠ 0.

Jika n, a ≥ 2 maka

 

 

 

Sifat 5

Misalkan a adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a> 0, dan adalah bilangan pecah q, n ≠ 0. Maka

 

6. Bentuk Akar

 

Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a,b bilangan bulat dan b≠ 0, contohnya . Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

Contoh
√2 = 1,414213562, e = 2,718…., , dan sebagainya.

Bentuk akar dapar dilihat pada contoh bilangan irasional salah satunya yaitu . Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar dinamakan bentuk akar. Tetai ingat tidak semua bilangan yag berada dalam tanda akar merupakan bilangan irrasional. Contoh: maka bukan merupakan bilakan irrasional.

 

Definisi 1.8

Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. disebut bentuk akar jika dan hanya jika hasil adalah bilangan irrasional.

 

7. Hubungan Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

 

 

Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan sifat 5 jika a adalah bilangan real dan a ≠ 0 dengan a> 0, dan adalah bilangan pecah q, n ≠ 0, maka .

Sehingga berdasarkan definisi 7.6 disimpulkan

Perhatikan kasus dibawah ini

sehinga berdasarkan definisi 7.6 disimpulkan

8. Operasi pada bentuk akar

 

 

1. Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Untuk setiap a, b, dan c adalah bilangan real dan c ≥ 0 berlaku sifat – sifat

1. Operasi perkalian dan pembagian pada bentuk akar

Perhatikan contoh soal dibawah ini

Kesimpulan :

1. Jika a > 0 maka

Bukti :

2. Jika a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0 , d ≠ 0 maka

Bukti :

3. Jika a, b, c, dan d bilanngan real, c > 0 dan d > 0 , d ≠ 0 maka

Bukti :

 

1. Merasionalkan penyebut bentuk akar
2. Merasionalkan bentuk

Kerena selalu positif maka . Jadi perkalian diatas tidak mengubah nilai .

2. Merasionalkan bentuk

Pahami bentuk-bentuk operasi bilangan rasional dan bilangan irrasional berikut

• Bilangan rasional dijumlahkan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional. Berikan contohnya !
• Bilangan irrasional dijumlahkan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional. Berikan contohnya !
• Bilangan rasional dikalikan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional. Berikan contohnya !
• Bilangan irrasional dikalikan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional. Berikan contohnya !

Maka untuk merasionalkan dapat digunakan sifat perkalian (x – y) (x + y) = x² – y²

Sehingga:

Bentuk dan bentuk saling sekawan dan bentuk dan bentuk juga saling sekawan. Jadi untuk merasionalkan bentuk akar dapat dilakukan dengan perkalian bentuk sekawan.

3. Menyederhanakan bentuk

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Dari urian diatas maka ditemukan bentuk sederhana dari yaitu

Misalkan;

 

SOAL

1. Tentukanlah nilai dari

 

2. Bentuk dapat disederhanakan menjadi…
3. Jika (3 + 4 ) (3² + 4²)(3⁴+4⁴)(3⁸+4⁸)(3¹⁶+4¹⁶)(3³²+4³²)=(4^x-3^y), maka x-y = …