Pengertian dasar (dan paling simple) Differensial atau Turunan dalam Matematika

differensial/Turunan adalah suatu pendekatan untuk menghitung suatu (let’s say) jarak atau panjang dari suatu lintasan yang gak beraturan atau gak diketahui

-kalo ada yang gak setuju sama pendapat saya, langsung post di komentar box dibawah ya

Inget yah kata kuncinya pake kata “PENDEKATAN” atau yang sering dibilang anak2 gaul galau jaman sekarang dengan istilah PDKT

oke mulai serius nih…

Pasti gampang banget yah kalo kalian ditanya sama guru kalian, berapakah turunan dari nilai $3X^2 + 4 X$

langsung kalian bisa menjawab dengan benar yaitu : $6X + 4$

Cuma masalahnya angka itu didapet darimana ??

Inilah saatnya saya menjelaskan

Dikarenakan Differensial adalah PDKT maka rumusnya menggunakan rumus PDKT, maksudnya ??

$F'(x) = \frac {\partial {F(x)}}{\partial{x}} = \displaystyle \lim _{h \to 0} \frac {F(x+h) - F(x)}{h}$

pernah liat rumus itu ?? yup itu adalah rumus limit

tapi bedanya limit itu mendekati nilai 0 (NOL) <- lihat kata MENDEKATI, sama kan kayak PDKT yang bikin temen2 jadi galau, hehe

Ok untuk contoh soal diatas kita coba ngerjain pake rumus limit itu yah.. hasilnya sama apa engga… kalo gak sama berarti saya yang salah

$Y = F(x)$ <- sampe sini kan udah pada ngerti ya..

contoh soal tadi

$Y = 3X^2 + 4X$ , berarti

$F(X) = 3X^2 + 4 X$ , ngerti kan ?? cuma ganti dari Y jadi F(X) !

bodo banget kalo ga ngerti !! hehe becanda

Lanjut ya, masih bisa ngikutin kan ??
Berarti :

$F'(x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac {F(x+h)-F(x)}{h}$

nah, berhenti dulu takutnya udah pada bingung lagi, hehe
Perhatikan :

1. $F'(x)$ <- pake tanda kutip dibacanya F aksen

2. $F (X+h)$

misal nih $F(x) = 5X$ ,

maka

$F(x+h) = 5 (x+h)$

ngerti gak ??

contoh lain misal

$F(x) = 3X^2 + 4 X$

berati

$F (x+h) = 3(X+h)^2 + 4 (X+h)$

gampangnya semua huruf X diganti jadi X+h

Persamaan dasarnya kan gini :

$F'(x) = \displaystyle \lim _{h \to 0} \frac {F(x+h)-F(x)}{h}$

Jadi persamaannya setelah dimasukkin persamaan diatas jadi begini ya..

$F'(x) = \displaystyle \lim _{h \to 0} \frac {3(x+h)^2 + 4 (x+h)-(3x^2+4x)}{h}$

jadi tinggal dikuadratin dan dikali selanjutnya jadi begini persamaannya :

$F'(x) = \displaystyle \lim _{h \to 0} \frac {3(x^2+2xh+h^2)+4x+4h-3x^2-4x}{h}$

dibuka kurung untuk pengkalian

$F'(x) = \displaystyle \lim _{h \to 0} \frac {3x^2+6xh+3h^2+4x+4h-3x^2-4x}{h}$

dikurangin yang bisa dikurang

$F'(x) = \displaystyle \lim _{h \to 0} \frac {6xh+3h^2+4h}{h}$

dibagi sama h

$F'(x) = \displaystyle \lim _{h \to 0} {6x+3h+4}$

selanjutnya tinggal dimasukin aja nilai h-> 0 ke dalam persamaannya..

$F'(x) = 6x + 3(0) + 4$

maka hasil perkaliannya jadi

$F'(x) = 6x +4$

yup, sama kan kayak persamaan yang kita bahas tadi di awal:)

Lah, tapinya kita kan ngomongin lintasan, mana lintasannya ??

nah gambar diatas tuh lintasannya, anggap yang garis biru putus2 itu F(X)-nya dan garis arah merah itu adalah nilai h-nya
Kenapa h-nya mendekati nilai 0 ??

Nah, karena kan kita mau menghitung panjang lintasan dengan perhitungan pendekatan garisnya itu dipotong2 kecil2 sampe garis kecil2 itu panjangnya mendekati NOL, ngerti gak ?? gak ngerti ya ?

itu ada kan tulisan bola2 kecil, harusnya bola2 kecil dianggap melintasi sampe ujung lintasan (garis biru putus2) cuma karena capek bikinnya pake photoshop ya segitu aja yg ada yah.. tapi ngerti maksudnya kan ?

Nah garis merah yg ada di bola kecil2 itu yg kita anggap sebagai nilai h yang mana mendekati NOL (biar lebih akurat) PDKT-nya

Gimana udah ngerti belum ??

Berikut contoh2 rumus hafalan cepat tentang differensial

Turunan fungsi f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :

Rumus-rumus Turunan / Differensial

1. $f(x) = k$ maka $f'(x) = 0$