BARISAN BILANGAN
1. POLA BILANGAN
Pola bilangan seringkali dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda-benda (diwakili dengan lambang noktah ●) sebagaimana dijelaskan dalam paparan berikut.
2. BARISAN BILANGAN
| Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.
Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, . . ., dan bilangan ke n adalah un, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai berikut u1, u2, u3, . . ., uk, . . ., un |
Bilangan-bilangan yang membentuk barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk, dan suku ke n dengan un. (n bilangan asli)
Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n yang dilambangkan dengan un disebut suku umum barisan. Pada umumnya suku ke-n atau un merupakan fungsi dengan daerah asal bilangan asli n.
| Contoh 1 :
Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai Un = 3n + 1 JAWAB : Suku ke-n, Un = 3n + 1 Untuk n = 1, diperoleh U1 = 3(1) + 1 = 4 n = 2, diperoleh U2 = 3(2) + 1 = 7 n = 3, diperoleh U3 = 3(3) + 1 = 10 jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, u3 = 10 |
Rumus umum suku ke-n atau un dapat ditentukan dengan cara mengamati pola atau aturan tertentu yang terdapat pada tiga atau empat suku pertama dari barisan tersebut.
| Contoh 2 :
Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut : 4, 6, 8, 10, . . . JAWAB : Barisan bilangan dengan suku pertama u1 = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2. Jadi Un = 2n + 2 |
| CONTOH 3
Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan un = an2 + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan untu masing-masing sama dengan 8 dan 63. a) Hitunglah nilai a dan nilai b. b) Tentukan suku ke-10 JAWAB : a) Rumus umum suku ke-n, : Un = an2 + bn Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh hubungan : a(2)2 + b(2) = 8 4a + 2b = 8 2a + b = 8 Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan : a(7)2 + b(7) = 63 49a + 7b = 63 7a + b = 9 Persamaan ke-1 dan ke-2 membentuk persamaan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut : 2a + b = 4 7a + b = 9 Penyelesaian dari kedua persamaan tersebut adalah untuk a nilainya adalah 1 (a = 1), dan nilai b = 2. b) Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dimana rumus umum suku ke-n dinyatakan sebagai Un = an2 + bn. Untuk n = 10, diperoleh u10 = (10)2 + 2 (10) = 120 Jadi, suku ke-10 dari barisan itu adalah U10 = 120 |
BARISAN ARITMATIKA
| Suatu barisan U1, U2, U3, . . ., Un disebut barisan aritmetika jika untuk sebarang nilai n berlaku hubungan :
Un – Un-1 = b |
Ciri dari barisan aritmatika yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai yang tetap atau konstan. Selisih dua suka pada barisan aritmatika disebut beda atau dilambangkan dengan huruf b.
Rumus Umum Suku Ke-n pada Barisan Aritmatika;
| Contoh 4.
Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmetika 1, 6, 11, 16, … Jawab : Suku pertama u1 = a = 1, beda b = 6 – 1 = 5 Suku ke-6 u6 = a + 5b = 1 + 5(5) = 26 Jadi suku pertama a = 1, beda = 5, dan suku ke-6 adala U6 = 26 |
| Contoh 5
Suku ketiga suatu barisan aritmatika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39. a) Carilah suku pertama dan beda barisan itu. b) Carilah rumus suku ke-n JAWAB U3 = 11, a + 2b = 11 U10 = 39, a + 9b = 39 Dari persamaan tersebut didapat a = 3 dan b = 4 Jadi suku pertama a = 3 dan beda b = 4. Un = a + (n – 1)b = 2 + (n – 1)4 = 4n – 1 Jadi rumus suku ke-n adalah Un = 4n -1 |
| Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b. Rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :
Un = a + (n – 1)b |
BARISAN GEOMETRI
| Suatu barisan U1, U2, U3, . . ., Um disebut barisan geometri, jika untuk sebarang nilai n ϵ bilangan asli kurang dari m berlaku hubungan :
Un = r Un-1 Dengan r adalah suatu tetapan atau konstanta yang tidak tergantung pada n. |
Barisan geometri mempunyai ciri tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap (konstan). Perbandingan dua suku yang berurutan disebut pembanding atau rasio. Dilambangkan dengan huruf r.
Terdapat barisan bilangan 2, 6, 18, 54, . . .
Nilai rasio barisan tersebut dapat ditetapkan sebagai berikut :
R = 6 = 18 = 54 = 3
2 6 18
Rumus Umum Suku ke-n pada Barisan Geometri
| Misalkan suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. Rumus umum suku ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh :
Un = arn-1 |
Contoh 6
Tentukan suku pertama, rasio, dan suku keenam pada barisan geometri berikut ini.
27, 9, 3, 1, . . .
Jawab :
27, 9, 3, 1, . . . suku pertama a = 27, rasio r = 9/27 = 1/3
Suku keenam U6 = ar5 = 27 (1/3)5 = 1/9
| Contoh 7
Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ketiganya sama dengan 45. Selain itu diketahui pula bahwa rasio barisan geometri tersebut positif. a) Tentukan rasio dari barisan geometri tersebut. b) Tentukan rumus umum suku ke- n c) Suku keberapakah pada barisan geometri itu yang nilainya sama dengan 1.215 JAWAB : a. Suku pertama a = 5, suku ketiga U3 = 45 U3 = ar2 45 = 5r2 r2 = 9 r = -3 atau r = 3 karena dalam soal rasio bernilai positif maka diambil r = 3 b. Suku ke-n ditentukan sebagai berikut : Un = arn-1 = 5(3)n-1 = 5.3n-1 Jadi rumus umum suku ke-n dari barisan geometri tersebut adalah Un = 5.3n-1 c. Dimisalkan 1.215 merupakan suku yang ke-n atau Un = 1.215 Un = 1.215 5.3n-1 = 1.215 3n-1 = 243 = 35 n-1 = 5, n = 6 jadi 1.215 merupakan suku yang ke-6 |
DERET TAK BERHINGGA GEOMETRI
Dari barisan 3, 6, 12, 24, . . .,192 dapat dibentuk deret geometri menjadi
3 + 6 + 12 + 24 + . . . + 192.
Untuk mendari jumlah n suku pertama dapat dicari dengan rumus :
atau
n = banyaknya suku
a = suku pertama
r = rasio
- Untuk rumus yaang pertama biasanya digunakan apabila │r│‹ 1
- Untuk rumus yang kedua digunakan apabila │r│> 1
Contoh 1:
Terdapat deret geometri tak berhingga yaitu 3, 6, 12, 24, . . .
Hitunglah jumlah enam suku pertama deret geometri tersebut!
Jawab :
Diketahui a = 3 , r = 2
Karena r > 1, maka digunakan rumus yang kedua.
Sifat suku ke-n deret geometri tak hingga dapat dituliskan dengan rumus :
Un = Sn – Sn-1
Contoh 2:
Jumlah n suku pertama dari suatu deret tak berhingga ditentukan .
- Tentukan rumus umum suku ke-n
- Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri tersebut
Jawab ;
- Gunakan sifat bahwa suku ke-n adalah Un = Sn – Sn-1
Jadi rumus umum suku ke-n adalah
- Dari diperoleh suku pertama
Rasio r ditentukan dengan hubungan
Jumlah deret geometri tak hngga dilambangkan dengan S dan
dikatakan S diperoleh dari Sn dengan proses lmiit n mendekati tak hingga. Selanjutnya nilai
Sifat deret geometri tak hingga dikatakan :
- Mempunyai limit atau konvergen jika dan hanya jika |r|<1.
Limit jumlah itu ditentukan oleh
- Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen jika dan hanya jika |r| > 1.
Contoh :
Suku ke-n dari suatu deret geometri ditentukan dengan rumus Un = 6-n
Hitunglah limit jumlah dari deret geometri tersebut!
Jawab :
Dari suku ke-n : Un = 6-n diperoleh suku pertama sama dengan 1/6 dan rasio = 1/6.
Oleh karena 1/6 < 1 maka deret geometri tersebut bersifat konvergen dengan limit jumlah :
Jadi limit jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah S = 1/5
Contoh :
sepotong kawat mempunyai panjang 124 cm, dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan kawat tersebut membentuk barisan geormetri dengan panjang potongan kawat terpendek sama dengan 4 cm. Tentukan panjang kawat yang paling panjang!
Jawab :
Misalkan panjang potongan-potongan kawat berturut-turut adalah U1, U2, U3, U4, dan U5 membentuk barisan geometri dengan suku pertama a = 4 cm dan rasio r.
Jumlah suku-suku barisan geometri itu membentuk deret geometri dengan jumlah sama dengan panjang kawat:
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = panjang kawat.
Penyelesaian atau solusi bagi persamaan ini adalah r = 2.
Dari suku pertama a = 4 dan rasio r = 2 maka suku kelima U5 ditentukan oleh
U5 = ar4 = 4(2)4 = 64.
Jadi panjang potongan kawat yang paling panjang adalah u5 = 64 cm.
Contoh :
Sebuah bola tenis dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 m. setiap kali setelah memantul, bola itu mencapai ketinggian lima per enam dari ketinggian yang dicapai sebelumnya.
Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh oleh bola itu sampai berhenti!
Jawab :
Karakteristik masalah dalam soal di atas berkaitan dengan model matematika yang berbentuk deret geometri tak hingga.
Lintasan yang ditempuh oleh bola itu sampai berhenti terdiri atas lintasan turun dan lintasan naik.
- Untuk lintasan turun :
Pert ama a = 1 dan rasio r = 5/6.
- Untuk lintasan naik :
a = 5/6 dan rasio r = 5/6
Jadi panjang lintasan yang ditempuh oleh bola itu sampai berhenti adalah 11 meter.
Recent Comments