Ruang Linear

Definisi 1.1.  Suatu himpunan G dilengkapi dengan operasi biner * dinamakan grup apabila memenuhi sifat :

1. Tertutup
2. Asosiatif
3. Mempunyai elemen netral
4. Setiap elemen mempunyai invers

Jika G merupakan grup dengan operasi biner *, ditulis  singkat  (G ; *)  grup. Suatu grup yang bersifat  komutatif disebut grup komutatif.

Definisi 1.2.  Lapangan (field)  F adalah suatu sistem aljabar dengan dua operasi biner yang dinamakan penjumlahan (notasi +) dan perkalian (notasi .) yang memenuhi :

1. (F ; +)  merupakan grup komutatif
2. (F ; .)  merupakan grup komutatif
3. Bersifat distributif

Dalam hali ini ditulis singkat, (F ; + , . ) lapangan/field

Contoh lapangan :

1. (Q ; +, .)
2. (Â ; +, .)
3. (C ; +, .)

Setelah diingatkan kembali tentang grup dan lapangan, berikut diberikan pengertian tentang ruang vektor

Definisi 1.3.   Sistem  { V, F ; + , . , Å , Ä } disebut ruang vektor  (vector space) atas lapangan F jika memenuhi :

1. (F ; + , . ) lapangan dengan elemen identitas perkalian 1
2. (V ; Å ) grup komutatif
3. Untuk semua  a , b Π F  dan v, w Î V, berlaku :
   1. a Ä v Î V
   2. (a + b) Ä v  =  (a Ä v) Å (b Ä v)
   3. a Ä  (v Å w)  =  (a Ä v) Å (a Ä w)
   4. (a . b) Ä v  =  a Ä (b Ä v)
   5. 1 Ä v  =  v

Untuk selanjutnya ruang vektor {V, F; +, . , ,  } atas lapangan F ditulis singkat sebagai ruang vektor V atas lapangan F, dan dinotasikan V(F) atau disingkat V saja. Elemen dari V disebut vektor dan elemen lapangan F disebut skalar. Unsur identitas pada V disebut vektor nol.

Dengan memperhatikan pengambilan elemen, keempat notasi biner di atas dapat ditulis singkat dengan dua notasi biner + dan . saja.

Contoh.

1. Himpunan n-pasangan berurutan bilangan real Âⁿ dengan operasi :

(x_1, x_2,  … ,x_n) + (y₁, y_2,  … ,y_n) = ( x₁+ y₁, x₂ + y_2, … ,x_n+ y_n)

a                                                                             (x_1, x_2, … ,x_n) = (ax_1, ax₂… , ax_n)

merupakan ruang  vektor atas Â.

1. Lapangan F adalah ruang vektor atas dirinya sendiri.

3  Himpunan semua matriks berukuran mxn yang elemen-elemennya anggota lapangan F, dinotasikan M_mxn(F), dengan operasi penjumlahan matriks dan operasi perkalian skalar dengan matriks, merupakan ruang vektor atas lapangan F

1. Himpunan semua polinomial dalam variabel X berderajat paling tinggi n, dinotasika Pⁿ, yang koefisien-koefisiennya anggota lapangan F dengan operasi penjumlahan polinomial dan perkalian skalar dengan polinomial merupakan ruang vektor atas F.
2. Himpunan semua bilangan real  merupakan ruang vektor atas  sendiri, dengan operasi penjumlahan dan pergandaan  bilangan real

Penjelasan contoh 1 :  Untuk menunjukkan bahwa Âⁿ merupakan ruang vektor, akan diperlihatkan bahwa Âⁿ dengan operasi yang diberikan memenuhi definisi 1.1.3.

1. Jelas  (Â, +, .) merupakan lapangan dengan elemen satuan 1
2. Âⁿ ={ (x_1, x_2, … ,x_n) / x_i Î Â , i = 1, 2, …, n } dengan operasi penjumlahan yang didefinisikan merupakan grup komutatif yang mempunyai elemen satuan (0,0,…,0) dan invers penjumlahan dari  (x_1, x_2, … ,x_n) adalah (-x_1,  -x_2, … , -x_n)
3. Diambil sebarang bilangan real  a, b  dan (x_1, x_2, … ,x_n), (y₁, y_2,  … ,y_n) Î Âⁿ . Tentu berlaku :
   1. a (x_1, x_2, … ,x_n) = (ax_1, ax_2, … , ax_n)  Î Âⁿ  karena  ax_i Î Â untuk i= 1,2,…,n
   2. (a + b) (x_1, x_2, … ,x_n) =  ((a + b)x_1, (a + b)x_2,  … , (a + b)x_n)

=  (ax₁+ bx_1,  ax₂+ bx_2,  … , ax_n + bx_n)

=  (ax_1, ax_2,  … , ax_n) + (bx_1,  bx_2,  … ,  bx_n)

=  a (x_1, x_2, … ,x_n) +  b (x_1, x_2, … ,x_n)

1. a [(x_1, x_2, … ,x_n) + (y₁, y_2,  … ,y_n)] =  a (x₁ + y₁, x₂ + y_2,  … , x_n + y_n)

= (a(x₁+ y₁), a(x₂ + y₂) _,  … , a(x_n+ y_n))

= (ax_1, ax₂… , ax_n) + (ay_1, ay₂… , ay_n)

= a (x_1, x_2, … ,x_n) + a (y_1, y_2, … ,y_n)

1. (a b)(x_1, x_2, … ,x_n) = ((a b)x_1, (a b)x_{2 ,} … , (a b)x_n)

=  (a (bx₁)_, a (bx₂) _, … , a (bx_n))

=  a (bx_1,  bx_{2 ,} … , bx_n)

=  a [b(x_1, x_{2 ,} … , x_n)]

1. 1. (x_1, x_2, … ,x_n) =  (1.x_1, 1.x_2, … , 1.x_n)

=  (x_1, x_2, … ,x_n)    §